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齐次方程的通解

(1)令y=xt,则y'=xt'+t代入原方程,得y'=(y/x)ln(y/x)==>xt'+t=tlnt==>xt'=t(lnt-1)==>dt/[t(lnt-1)]=dx/x==>d(lnt-1)/(lnt-1)=dx/x==>ln│lnt-1│=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)==>lnt-1=

二阶线性齐次方程的一般形式为:y''+a1y'+a2y=0,其中a1,a2为实常数.我们知道指数函数e^(ax)求导后仍为指数函数.利用这个性质,可适当的选择常数ρ,使e^(ax)满足方程

可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组.求向量组的极大无关组的一般步骤:1. 把向量组作为矩阵的列向量构成一个矩阵;2. 用初等行变换将该矩阵化为阶梯阵;3.主元所在列对应的原向量组即为极大无关组.求齐次线性方程组通解要先求基础解系,步骤:a. 写出齐次方程组的系数矩阵A;b. 将A通过初等行变换化为阶梯阵;c. 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元(n r 个);d.令自由元中一个为 1 ,其余为 0 ,求得 n r 个解向量,即为一个基础解系.齐次线性方程组AX= 0:若X1,X2… ,Xn-r为基础解系,则X=k1 X1+ k2 X2 +…+kn-rXn-r,即为AX= 0的全部解(或称方程组的通解).

非其次方程组的解的结构是这样的:非齐次线性方程组的通解是非齐次方程组的一个特解与导出组基础解系的和.依据上面的描述我们来看你的问题:①线性代数中,齐次方程和非齐次方程的通解是唯一的吗?通解是对非其次方程组谈的,非其次

系数矩阵:1 1 -1 -12 -5 3 -27 -7 3 2 r2-2r1, r3-7r1 得:1 1 -1 -10 -7 5 00 -14 10 9 r3-2r2:1 1 -1 -10 -7 5 00 0 0 9 矩阵的秩为3,n=4,基础解劝系含一个解劝向量.可取x3为自由未知量,可任给x3以非零值,而求得一解劝,即的基础解系.取x3=7,

解: 系数矩阵 =1 1 -1 -12 -5 3 27 -7 3 1r2-2r1, r3-7r11 1 -1 -10 -7 5 40 -14 10 8r3-2r21 1 -1 -10 -7 5 40 0 0 0r2*(-1/7)1 1 -1 -10 1 -5/7 -4/70 0 0 0r1-r21 0 -2/7 -3/70 1 -5/7 -4/70 0 0 0方程组的全部解为: c1(2,5,7,0)' + c2(3,4,0,7)'

设出一般形式,然后将解带入用待定系数即可

求通解是对齐次的说的,若有两个自由变量,四维的方程组,就依次取c1=(0 0 1 0)c2=(0 0 0 1)然后算方程组的解.若有三个自由变量,就依次取为c1=(0 1 0 0)c2=(0 0 1 0)c3=(0 0 0 1)然后求出方程组的通解.而对于特解自由变量都取0就好了只要满足方程就好,所以自由变量可以随便取.求通解时,因为他是基础解系,别的解要由他能够表示,所以不能同时为零,必须有不为零的数,所以取1最简单

特解的意思是某一组固定数值代入之后满足Ax=b而通解就是一系列的数组代入满足Ax=0那么二者组合在一起当然就是满足Ax+b=0解

(1)*2+(3)得 x+2y+2w=0 ,减(2)得 w=0 .取 y=k (k 为任意实数),则 x= -2k ,代入(1)得 z=0 ,由此得方程组的通解为 (x,y,z,w)=(-2k,k,0,0).(k 为任意实数)

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