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在二次型F=XTAX中,若经过可逆线性变换X=CY,可以将F化为标准形F=k1y1^2+k2y2^2...

这种变换是合同变换,即 C^TAC = diag(k1,k2,,kn) 即A与对角矩阵合同 合同的矩阵的特征值不一定相同!并且这里k并不是唯一确定的 比如 f = 16x1^2 可以化为 8y1^2 也可化为 4z1^2, 等等.

肯定不唯一啊你把你求得的一个矩阵c再乘以一个常数结果还是没变啊.因为化成的是标准型所以c矩阵为正交矩阵所以你乘的常数会抵消

由于a为实对称可逆矩阵,则a^(-1)也是对称矩阵,于是令可逆线性变换x=a^(-1)y则f=y^t(a^(-1))^t aa^(-1)y=y^ta^(-1)y即线性变换x=a^(-1)y为所求

用可逆线性变换将二次型f(x,y,z)=y^2-2xy+yz 化为标准形. 如果是求正交变换,则先写出系数矩阵,求出其特征值,然后求出其对应的特征向量,所求出的特征向量组成的

是的,线性变换是否可逆,完全由变换矩阵是否可逆刻画

f = (x1+2x3)^2 +2x2^2-6x3^2= y1^2 + 2y2^2 - 6y3^2 Y=CX C=1 0 20 1 00 0 1

同济版线性代数,第五章关于二次型那节有例子,注意的是最后变换的矩阵C必须是可逆的,如果不可逆,说明你变换有误,需要重新选取

一定存在可逆变换讲二次型化到标准形式但是并不是任何可逆变换作用的结果都是标准形式, 你随手选一个变换当然有可能变换到一个很普通的对称阵

【解答】(配方法)f(x1,x2,x3)=(x1+2x1x2+2x1x3)+(2x2+4x2x3)+x3=(x1+x2+x3)+(x2+x3) -x3令y1=x1+x2+x3y2=x2+x3y3=x3将二次型f(x1,x2,x3)化为 f(y1,y2,y3)=y1+y2-y3x1=y1-y2x2=y2-y3x3=y3可逆线性变换 x=Cy矩阵C为1 -1 00 1 -10 0 1

问题其实就是找一个可逆C,使得x'Ax=(Cy)'A(Cy)=y'C'ACy=y'(C'AC)y=y'Λy,即使C'AC=Λ为对角阵.C要可逆,因为考察的原表达式是关于x的,考察原表达式必然要考察所有的x取值,就要求对于所有的x,都对应一个y,也就要求变换C不降秩,C可逆,y=C'x.

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